$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.1\kern3mmd(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(1\ -\ (−5))^2\ +\ (−1\ -\ 5)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{36\ +\ 36}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ 6\sqrt{2}\ \ \ =\ 8,49\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.2\kern3mmM(AB)\ =\ \Big(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−5 + 1}{2} ; \frac{5 + (−1)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ (−2\ ;\ 2)\kern2mm\ } $$
[ V 1.2 ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.3\kern3mmm(CD) = \frac{y_D − y_C}{x_D − x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{2 − 7}{−2 − 3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−5}{−5}\ \ \ =\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AB) = \frac{y_B − y_A}{x_B − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−1 − 5}{1 − (−5)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−6}{6}\ \ \ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{m(AB) \times m(CD) =\ −1 \times 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{40 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{\therefore AB \perp CD\kern2mm\ } $$
[ V 1.3 ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.4\kern3mmd(AC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_A)^2\ +\ (y_C\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(3\ -\ (−5))^2\ +\ (7\ -\ 5)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{64\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{68}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.5\kern3mmd(AC)\ =\ \sqrt{68}\ \ en\ \ d(AB) = \sqrt{72}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Hulle\ is\ dus\ nie\ ewe\ lank\ nie.\ Bereken\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{nou\ d(BC)\ om\ te\ bepaal\ of\ BC\ gelyk\ is\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{aan\ een\ van\ die\ sye\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(BC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_B)^2\ +\ (y_C\ -\ y_B)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(3\ -\ 1)^2\ +\ (7\ -\ (−1))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4\ +\ 64}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{=\ \sqrt{68}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(AC)\ =\ d(BC)\ =\ \sqrt{68}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore AC\ =\ BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ΔABC\ is\ dus\ 'n\ gelykbenige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.1.1\kern3mmm(BC)\ =\ \frac{y_C − y_B}{x_C − x_B}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{= \frac{−2 − (−2)}{1 − (−7)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{= \frac{0}{8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{= 0\ \kern4mm\ BC \| x-as\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.1.2\kern3mmd(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−7\ -\ (−3))^2\ +\ (−2\ -\ 5)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{16\ +\ 49}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{65}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.1.3\kern3mmM(BC)\ =\ \Big(\frac{x_B + x_C}{2} ; \frac{y_B + y_C}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−7 + 1}{2} ; \frac{−2 + (−2)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (−3\ ;\ −2)\kern2mm\ } $$
[ V 2.1.3 ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.2\kern3mmA\ en\ M\ het\ dieselfde\ x-koördinate\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{10 mm}\mathrm{en\ dus\ is\ AM \| Y-as\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{en\ BC \| X-as\ sodat\ AM \perp BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M\ is\ die\ middelpunt\ van\ BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{AM\ is\ dus\ die\ middelloodlyn\ van\ BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.3\kern3mmd(AC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_A)^2\ +\ (y_C\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−2\ -\ 5)^2\ +\ (1\ -\ (−3))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{49\ +\ 16}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{65}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore AB\ =\ AC\ en\ ∠ABC\ =\ ∠ACB\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.1\kern3mmM(PQ)\ =\ \Big(\frac{x_P + x_Q}{2} ; \frac{y_P + y_Q}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−6 + 2}{2} ; \frac{1 + (−7)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ (−2\ ;\ −3)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{S\ is\ die\ punt\ (−2\ ;\ −3)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.2\kern3mmMediaan\ halveer\ die\ teenoorstaande\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{sy\ sodat\ die\ lyn\ vanaf\ R\ deur\ S\ loop.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(RS) =\ \frac{y_S − y_R}{x_S − x_R}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−3 − (−1)}{−2 − 8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−2}{−10}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{1}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Vergelyking\ \ :\ \ y - y_1 = m(x - x_1)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{By\ R(8 ; −1) :\ \ y - (−1) = \frac{1}{5}(x - 8)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{5y + 5 = x - 8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{45 mm}\mathrm{5y = x - 13\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{40 mm}\mathrm{of\ \ \ y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.3\kern3mmm(RQ) =\ \frac{y_Q − y_R}{x_Q − x_R}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−7 − (−1)}{2 − 8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−6}{−6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.4\kern3mmm(PQ) =\ \frac{y_Q − y_P}{x_Q − x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−7 − 1}{2 − (−6)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−8}{8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(PQ) \times m(RQ) = −1 \times 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore PQ \perp RQ en\ dus\ is\ ∠PQR\ =\ 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ΔPQR\ is \ 'n\ reghoekige\ driehoek.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.1\kern3mmΔKLM\ is\ 'n\ reghoekige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{as\ twee\ van\ sy\ sye\ loodreg\ op\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{mekaar\ is.\ Bereken\ dus\ die\ gradiënt\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{van\ elke\ sy\ om\ te\ bepaal\ of\ hulle\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{loodreg\ op\ mekaar\ is.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(KL) =\ \frac{y_L − y_K}{x_L − x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{−5 − 9}{−5 − 2}\ \kern4mm\ =\ \frac{−14}{−7}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(KM) =\ \frac{y_M − y_K}{x_M − x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{−1 − 9}{−13 − 2}\ \kern4mm\ =\ \frac{−10}{−15}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{2}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(LM) =\ \frac{y_M − y_L}{x_M − x_L}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{−1 − (−5)}{−13 − (−5)}\ \kern4mm\ =\ \frac{4}{−8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(KL)\ \times\ m(LM)\ =\ 2\ \times −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{36 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{\therefore KL \perp LM\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{ΔKLM\ is\ dus\ 'n\ reghoekige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{5.1\kern3mm∠DEF = 90°\ as\ DE \perp EF\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(DE) =\ \frac{y_E − y_D}{x_E − x_D}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{5 − 9}{−3 − 5}\ \kern4mm\ =\ \frac{−4}{−8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(EF) =\ \frac{y_F − y_E}{x_F − x_E}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= \frac{1 − 5}{−1 − (−3)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−4}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{= −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(DE) \times m(EF) = \frac{1}{2} \times −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{33 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{\therefore DE \perp EF\ \ en\ \ ∠DEF = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{6\kern3mmd(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18mm}\mathrm{=\ \sqrt{(1\ -\ (−6))^2\ +\ (−3\ -\ 7)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{49\ +\ 100}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{149}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{7 mm}\mathrm{d(AC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_A)^2\ +\ (y_C\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−9\ -\ (−6))^2\ +\ (−10\ -\ 7)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 289}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{298}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{7 mm}\mathrm{d(BC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_B)^2\ +\ (y_C\ -\ y_B)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−9\ -\ 1)^2\ +\ (−10\ -\ (−3))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{100\ +\ 49}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{=\ \sqrt{149}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{AB\ =\ BC\ en\ dus\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{is\ ΔABC\ 'n\ gelykbenige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{In\ ΔPQR\ is\ ∠QPR\ =\ ∠PRQ\ as\ PQ\ =\ QR\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{d(PQ)\ =\ \sqrt{(x_Q\ -\ x_P)^2\ +\ (y_Q\ -\ y_P)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−7\ -\ (−3))^2\ +\ (7\ -\ (−2))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{16\ +\ 81}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{97}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{d(RQ)\ =\ \sqrt{(x_Q\ -\ x_R)^2\ +\ (y_Q\ -\ y_P)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−7\ -\ 2)^2\ +\ (7\ -\ 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 16}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{=\ \sqrt{97}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{PQ\ =\ RQ\ =\ \sqrt{97}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{Dus\ ∠QPR\ =\ ∠PRQ\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.1.1\kern3mmM(PQ)\ =\ \Big(\frac{x_P + x_Q}{2} ; \frac{y_P + y_Q}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−4 + 4}{2} ; \frac{1 + (−1)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (0\ ;\ 0)\kern2mm\ } $$
[ V 8.1.1 ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.1.2\kern3mmBepaal\ die\ vergelyking\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{van\ swaartelyn\ RT\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Vergelyking\ \ :\ \ y - y_1 = m(x - x_1)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(RT) =\ \frac{y_T − y_R}{x_T − x_R}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= \frac{0 − (−8)}{0 − 5}\ \kern4mm\ =\ \frac{8}{−5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= −\frac{8}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{By\ R(5 ; −8) :\ \ y - (−8) = −\frac{8}{5}(x - 5)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{5y + 40 = −8x + 40\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{46 mm}\mathrm{5y = −8x\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{38 mm}\mathrm{of\ \ \ 8x + 5y = 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.1.3\kern3mmm(PR) =\ \frac{y_R − y_P}{x_R − x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{= \frac{−8 − 1}{5 − (−4)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−9}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.2\kern3mmm(QS) =\ \frac{y_S − y_Q}{x_S − x_Q}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{= \frac{−4 − (−1)}{1 − 4}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{−3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{= 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(QS)\ \times m(PR)\ =\ 1\ \times −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{QS \perp PR\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.3\kern3mmOppervlakte\ van\ ΔPQR\ =\ ½bh\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Bereken\ die\ lengtes\ van\ PR\ en\ QS\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(PR)\ =\ \sqrt{(x_R\ -\ x_P)^2\ +\ (y_R\ -\ y_P)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(5\ -\ (−4))^2\ +\ (−8\ -\ 1)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 81}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{162}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(QS)\ =\ \sqrt{(x_S\ -\ x_Q)^2\ +\ (y_S\ -\ y_Q)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(1\ -\ 4)^2\ +\ (−4\ -\ (−1))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{18}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Oppervlakte\ =\ ½bh\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{31 mm}\mathrm{=\ ½ \times \sqrt{162} \times \sqrt{18}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{31 mm}\mathrm{=\ 27\ vierkant\ eenhede\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{9.1\kern3mmm(AB) =\ \frac{y_B − y_A}{x_B − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−1 − 3}{−4 − (−2)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−4}{−2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(CD) =\ \frac{y_D − y_C}{x_D − x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{1 − (−2)}{−3 − 3}\ \kern4mm\ =\ \frac{3}{−6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AB)\ \times m(CD)\ =\ 2\ \times −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{37 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore AB \perp CD\kern2mm\ } $$
[ V 9.1 ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{9.2\kern3mmBepaal\ die\ koördinate\ van\ M,\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{AC\ se\ middelpunt\ en\ m(BM)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M(AC)\ =\ \Big(\frac{x_A + x_C}{2} ; \frac{y_A + y_C}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−2 + 3}{2} ; \frac{3 + (−2)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ (½\ ;\ ½)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M(½\ ;\ ½)\ is\ AC\ se\ middelpunt\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(BM) =\ \frac{y_M − y_B}{x_M − x_B}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{½ − (−1)}{(½ − (−4)}\ \kern4mm\ =\ \frac{3}{2} \div \frac{9}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{1}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{By\ B(-4 ; -1) :\ \ y - (−1) = \frac{1}{3}(x - (−4))\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{41 mm}\mathrm{y + 1 = \frac{1}{3}(x + 4)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{46 mm}\mathrm{y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{3y = x + 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{9.3\kern3mmOppervlakte\ van\ ΔABC\ =\ ½bh\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Bereken\ die\ lengtes\ van\ AB\ en\ CD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{en\ CD\ \perp AB\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−4\ -\ (−2))^2\ +\ (−1\ -\ 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4\ +\ 16}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{20}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(CD)\ =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_C)^2\ +\ (y_D\ -\ y_Q)^C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−3\ -\ 3)^2\ +\ (1\ -\ (−2))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{36\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{45}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Oppervlakte\ =\ ½bh\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{31 mm}\mathrm{=\ ½ \times \sqrt{20} \times \sqrt{45}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{31 mm}\mathrm{=\ 15\ eenhede^2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{10.1\kern3mmm(AB) =\ \frac{y_B − y_A}{x_B − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{1 − 4}{(−4) − (−1)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{−3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(CD) =\ \frac{y_D − y_C}{x_D − x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{1 − (−2)}{2 − (−1)}\ \kern4mm\ =\ \frac{3}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AB)\ =\ m(CD) =\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Dus\ AB ∥ CD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{10.2\kern3mmd(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−4\ -\ (−1))^2\ +\ (1\ -\ 4)^2\ }\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{18}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(CD)\ =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_C)^2\ +\ (y_D\ -\ y_Q)^C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{2 − (−1)^2 +\ (1 − (−2))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{18}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore AB = CD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{10.3\kern3mmm(BC) =\ \frac{y_C − y_B}{x_C − x_B}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−2 − 1}{(−1) − (−4)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AB) \times m(BC) =\ 1 \times −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{35 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{AB \perp BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{∠ABC = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{10.4\kern6mmm(AB ∥ CD\ \ . . .\ 10.1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{AB = CD\ \ . . .\ 10.2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore ABCD\ is\ 'n\ parallelogram\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{∠ABC = 90°\ \ . . .\ 10.3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore ABCD\ is\ 'n\ reghoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{11.1\kern3mmm(KN) =\ \frac{y_N − y_K}{x_N − x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−2 − 1}{(−1) − (−4)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(LM) =\ \frac{y_M − y_L}{x_M − x_L}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−3 − (−1)}{(−1) − (−3)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−2}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(KN) = m(LM) = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore KN ∥ LM\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{11.2\kern3mmd(KN)\ =\ \sqrt{(x_N\ -\ x_K)^2\ +\ (y_N\ -\ y_K)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(3\ -\ 1)^2\ +\ (3\ -\ 5)^2\ }\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(LM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_L)^2\ +\ (y_M\ -\ y_L)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{−1 − (−3)^2 +\ (−3 − (−1))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore KN = LM\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{11.3\kern6mmKN ∥ LM\ \ . . .\ 11.1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{KN = LM\ \ . . .\ 11.2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore KLMN\ is\ 'n\ parallelogram\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(KL) =\ \frac{y_L − y_K}{x_L − x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−1 − 5}{(−3) − 1}\ \kern4mm\ =\ \frac{−6}{−4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{3}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(KN) \times m(KL) = −1 \times \frac{3}{2}\ \not = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore KN\ is\ nie\ loodreg\ op\ KL\ nie.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{∠ABC \not = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore ABCD\ is\ nie\ 'n\ reghoek\ nie.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{12.1\kern6mmM(PR)\ =\ \Big(\frac{x_P + x_R}{2} ; \frac{y_P + y_R}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{2 + (−3)}{2} ; \frac{5 + (−2)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ (−\frac{1}{2}\ ;\ \frac{3}{2})\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M(−\frac{1}{2}\ ;\ \frac{3}{2})\ is\ PR\ se\ middelpunt\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{12.2\kern3mmd(QM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_Q)^2\ +\ (y_M\ -\ y_Q)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−\frac{1}{2}\ -\ (−4))^2\ +\ (\frac{3}{2}\ -\ 1)^2\ }\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{\frac{49}{4}\ +\ \frac{1}{4}}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{\frac{50}{4}}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(MS)\ =\ \sqrt{(x_S\ -\ x_M)^2\ +\ (y_S\ -\ y_M)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{3 − (−\frac{1}{2}))^2 +\ (2 − (\frac{3}{2}))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{\frac{49}{4}\ +\ \frac{1}{4}}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \sqrt{\frac{50}{4}}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore QM = MS\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{12.3\kern3mmm(QR) =\ \frac{y_R − y_Q}{x_R − x_Q}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \frac{−2 − 1}{(−3) − (−4)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ −3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(RS) =\ \frac{y_S − y_R}{x_S − x_R}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \frac{2 − (−2)}{3 − (−3)}\ \kern4mm\ =\ \frac{4}{6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \frac{2}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{12.4\kern3mmm(QR)\ \times m(RS)\ =\ −3\ \times \frac{2}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{=\ −2\ \not = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore QR\ is\ nie\ loodreg\ op RS\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore QR\ ∠QRS\ \not = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{PM = MR\ . . .\ M\ middelpunt\ van\ PR\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{QM = MS\ . . .\ 12.2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Hoeklyne\ van\ PQRS\ halveer\ mekaar\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{en\ dus\ is\ PQRS\ 'n\ parallelogram\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.1\kern3mmm(AD) =\ \frac{y_D − y_A}{x_D − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \frac{2 − 4}{7 − (−2)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ −\frac{2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.2\kern3mmm(BC) =\ \frac{y_C − y_B}{x_C − x_B}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \frac{−1 − 1}{3 − (−6)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ −\frac{2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.3\kern3mmd(BC)\ =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_B)^2\ +\ (y_C\ -\ y_B)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{3 − (−6))^2 +\ (−1 − 1)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{85}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.4\kern3mmd(AD)\ =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_A)^2\ +\ (y_D\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{7 − (−2))^2 +\ (2 − 4)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{85}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ d(BC)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{Ja,\ AD = BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.5\kern3mmM(AC)\ =\ \Big(\frac{x_A + x_C}{2} ; \frac{y_A + y_C}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−2 + 3}{2} ; \frac{4 + (−1)}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (\frac{1}{2}\ ;\ \frac{3}{2})\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M(BD)\ =\ \Big(\frac{x_B + x_D}{2} ; \frac{y_B + y_D}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{−6 + 7}{2} ; \frac{1 + 2}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (\frac{1}{2}\ ;\ \frac{3}{2})\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M\ is\ die\ middelpunt\ van\ AC\ en\ BD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Dus\ halveer\ hulle\ mekaar\ in\ M\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.6\kern3mmAD = BC\ en\ AD ∥ BC\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Een\ paar\ oorstaande\ sye\ gelyk\ en\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ewewydig\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{En\ AC\ en\ BD\ halver\ mekaar\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{14.1\kern3mmPS ∥ QR\ sodat\ m(PS) = m(QR)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(PS) =\ \frac{y_S − y_P}{x_S − x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{a − 2}{2 − (−2)}\ \kern4mm\ =\ \frac{a − 2}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{a − 2}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(QR) =\ \frac{y_R − y_Q}{x_R − x_Q}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{2 − (−1)}{4 − 1}\ \kern4mm\ =\ \frac{3}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Maar\ m(PS) =\ m(QR)\ . . .\ PS ∥ QR\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Dus\ \frac{a − 2}{4} =\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{a - 2 = 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{a = 6\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{15.1\kern3mmd(KL)\ =\ \sqrt{(x_L\ -\ x_K)^2\ +\ (y_L\ -\ y_K)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{2 − (−2))^2 +\ (6 − 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{16\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{25}\ =\ 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(KM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_K)^2\ +\ (y_M\ -\ y_K)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{5 − (−2))^2 +\ (2 − 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{49\ +\ 1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{50}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d(LM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_L)^2\ +\ (y_M\ -\ y_L)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(5 − 2)^2 +\ (2 − 6)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 16}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{25}\ =\ 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{KL = LM\ \ sodat\ ΔKLM\ 'n\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{gelykbenige\ driehoek\ 1s\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Omdat\ KL = LM\ \ is\ ∠LKM = ∠LMK\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{en\ dus\ kan\ hulle\ nie\ reghoekig\ wees\ nie.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Dus\ slegs\ ∠KLM\ kan\ 'n\ regte\ hoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{wees\ en\ dan\ sal\ m(LK) \times m(LM) = -1.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Bepaal\ dus\ m(LK)\ en\ m(LM)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(LK) =\ \frac{y_K − y_L}{x_K − x_L}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{3 − 6}{−2 − 2}\ \kern4mm\ =\ \frac{−3}{−4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{3}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(LM) =\ \frac{y_M − y_L}{x_M − x_L}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{2 − 6}{5 − 2}\ \kern4mm\ =\ \frac{−4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ −\frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(LK) \times m(LM) =\ \frac{3}{4} \times −\frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{33 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Dus\ LK \perp LM\ en\ ΔKLM\ is\ 'n\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{reghoekige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ΔKLM\ is\ dus\ 'n\ gelykbenige\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{reghoekige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{15.2\kern3mmOppervlakte\ ΔKLM\ =\ ½bh\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{KL = LM \ en\ KL \perp LM\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{Oppervlakte\ ΔKLM = ½ \times KL \times LM\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{41 mm}\mathrm{= ½ \times 5 \times 5\ eenhede^2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{41 mm}\mathrm{= 12,5\ eenhede^2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{16.1\kern3mmDie\ middelpunt\ van\ PR\ is\ T\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{M(PR)\ =\ \Big(\frac{x_P + x_R}{2} ; \frac{y_P + y_R}{2} \Big)\ =\ T(1 ; 2)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore \frac{3 + a}{2} = 1\ \ \ en\ \ \ \frac{2 + b}{2} = 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{ 3 + a = 2\ \ \ en\ \ \ 2 + b = 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{a = −1 \ \ en\ \ \ b = 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{R\ is\ die\ punt\ (−1 ; 2)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{16.2\kern3mmPQRS\ is\ 'n\ parallelogram\ en\ dus\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{is\ PS ∥ QR\ \ sodat\ m(PS) = m(QR)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{\frac{y_S − y_P}{x_S − x_P} = \frac{y_R − y_Q}{x_R − x_Q}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{\frac{d − 2}{c − 3}\ =\ \frac{2 − 4}{−1 − (−3)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{30 mm}\mathrm{=\ \frac{−2}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{d − 2 =\ −2\ \ \ en \ \ c − 3 = 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{d =\ 0 \ \ \ \ en \ \ \ \ \ \ \ \ c = 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{S\ is\ die\ punt\ (5 ; 0)\kern2mm\ } $$
16.3 PQRS sal 'n reghoek wees as al
die hoeke regte hoeke is, of as
PQ ⊥ PS, d.w.s. as m(PQ) × m(PS) = −1
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(PQ) \times m(PS) = \frac{y_Q − y_P}{x_Q − x_P} \times \frac{y_S − y_P}{x_S − x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{37 mm}\mathrm{= \frac{4 − 2}{−3 − 3} \times \frac{0 − 2}{5 − 3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{37 mm}\mathrm{= \frac{2}{−6} \times \frac{−2}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{37 mm}\mathrm{= \frac{1}{3}\ \ =\ \ \not = \ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{PQ\ is\ nie\ loodreg\ op\ PS\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Die\ hoeke\ is\ nie\ regte\ hoeke\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{PQRS\ is\ nie\ 'n\ reghoek\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ABCD\ is\ 'n\ trapesium\ as\ AS ∥ CD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{d.w.s.\ as\ m(AS) = m(CD)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AB) = \frac{y_B − y_A}{x_B − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{16 − 1}{4 − (−2)} \ = \ \frac{15}{6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{5}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(CD)\ verkry\ ons\ van\ die\ vergelyking\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{van\ die\ lyn\ deur\ C\ en\ D\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{5x − 2y − 14 = 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{30 mm}\mathrm{y = \frac{5}{2}x− 7\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(AC) = \frac{5}{2} = m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{ABCD\ kan\ dus\ 'n\ trapesium\ wees\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(PQ) = \frac{y_Q − y_P}{x_Q − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= \frac{−2 − 13}{2 − (−4)} \ = \ \frac{−15}{6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{= −\frac{5}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(QR)\ =\ die\ gradiënt\ van\ die\ lyn\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{2x − 5y − 5 = 0 \kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{35 mm}\mathrm{y = \frac{2}{5}x − 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(QR) = \frac{2}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore m(PQ) \not = m(QR)\ is\ PQ\ nie\ ewewydig\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{aan\ QR\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{PQ \perp QR\ as\ m(PQ) \times m(QR) = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{m(PQ) \times m(QR) = −\frac{5}{2} \times \frac{2}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{35 mm}\mathrm{=\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore PQ \perp QR\ \ en\ dus\ kan\ hulle\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{aanliggende\ sye\ van\ 'n\ reghoek\ wees\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.1\kern3mmd(AD)\ =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_A)^2\ +\ (y_D\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{5 − 2)^2 +\ (5 − 4)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{10}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.2\kern3mmM(AC)\ =\ \Big(\frac{x_A + x_C}{2} ; \frac{y_A + y_C}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{2 + 6}{2} ; \frac{4 + 2}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (4 ; 3)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{E\ is\ die\ punt\ (4 ; 3)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.3\kern3mmM(DB)\ =\ \Big(\frac{x_D + x_B}{2} ; \frac{y_D + y_B}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ \Big(\frac{5 + 3}{2} ; \frac{5 + 1}{2} \Big)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{24 mm}\mathrm{=\ (4 ; 3)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Die\ punt\ (4 ; 3)\ is\ die\ middelpunt\ van\ DB\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore DE = EB\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{42 mm}\mathrm{\bold{OF}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(DE)\ =\ \sqrt{(x_E\ -\ x_D)^2\ +\ (y_E\ -\ y_D)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4 − 5)^2 +\ (3 − 5)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{1\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(BE)\ =\ \sqrt{(x_E\ -\ x_B)^2\ +\ (y_E\ -\ y_B)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4 − 3)^2 +\ (3 − 1)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{1\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore BE = DE\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.4\kern3mmABCD\ kan\ 'n\ parallelogram\ wees\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{want\ die\ hoeklyne, AC\ en\ BD\ halveer\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{mekaar.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.5\kern3mmd(CD) =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_C)^2\ +\ (y_D\ -\ y_C)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{5 − 6)^2 +\ (5 − )^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{1\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{10}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.6\kern3mmAD = CD = \sqrt{10}\ en\ ABCD\ is\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{'n\ parallelogram\ \ . . .\ \ \ 1904\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{AD = CD\ sodat\ aanliggende\ sye\ gelyk\ is\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Dus\ ABCD\ is\ 'n\ rhombus\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{20.1\kern3mmm(BC) = \frac{y_C − y_B}{x_C − x_B}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= \frac{−1 − (−5)}{7 − 4} \ = \ \frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= \frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Vergelyking\ :\ y - y_1 = m(x - x_1)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{By\ B(4 ; −5)\ :\ y - (−5) = \frac{4}{3}(x - 4)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{38 mm}\mathrm{3y + 15 = 4x - 12\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{48 mm}\mathrm{y = \frac{4}{3}x - 9\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{27 mm}\mathrm{of\ 4x - 3y - 27 = 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{20.2\kern3mmd(AC) =\ \sqrt{(x_C\ -\ x_A)^2\ +\ (y_C\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{7 − (−3))^2 +\ (−1 − 7)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{100\ +\ 64}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{164}\ \ =\ 12,806\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{21.1\kern3mmm(XY) = \frac{y_Y − y_X}{x_Y − x_X}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= \frac{2 − (−3)}{1 − 4}\ \ \ =\ \ \ \frac{5}{−3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= −\frac{5}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{21.2\kern3mmd(XY) =\ \sqrt{(x_Y\ -\ x_X)^2\ +\ (y_Y\ -\ y_X)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(1 − 4)^2 +\ (2 − (−3))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{9\ +\ 25}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{34}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{21.3\kern3mmd(YZ) =\ \sqrt{(x_Z\ -\ x_Y)^2\ +\ (y_Z\ -\ y_Y)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(6 − 1)^2 +\ (5 − 2)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{25\ +\ 9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{34}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore YX = YZ\ en\ dus\ is\ ∠YXZ = ∠YZX\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Hoe\ groot\ is\ ∠XYZ?\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(YZ) = \frac{y_Z − y_Y}{x_Z − x_Y}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= \frac{5 − 2}{6 − 1}\ \ \ =\ \ \ \frac{3}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= \frac{3}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(YX) \times m(YZ) = −\frac{5}{3} \times \frac{3}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{37 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore XY \perp YZ\ en\ ∠XYZ = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Maar\ ∠YXZ\ \ + ∠YZX = 90°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{en\ ∠YXZ = ∠YZX\ \ . . .\ alreeds\ bewys\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore ∠YXZ = 45°\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{21.1\kern3mmM(LN)\ =\ P\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\Big(\frac{x_L + x_N}{2} ; \frac{y_L + y_N}{2} \Big)\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ (−3 ; 2)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{\Big(\frac{−4 + a}{2} ; \frac{−1 + b}{2} \Big)\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ (−3 ; 2)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{−4 + a}{2}\ \ =\ \ −3\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ \frac{−1 + b}{2}\ \ =\ \ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{−4 + a\ \ =\ \ 2 \times (−3)\ \ en\ \ −1 + b\ \ =\ \ 2 \times 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{ a = −2\ \ en\ \ b = 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{\therefore N\ is\ die\ punt\ (−2 ; 5)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.2\kern3mmd(KL)\ =\ \sqrt{(x_L\ -\ x_K)^2\ +\ (y_L\ -\ y_K)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−4 − (−6))^2 +\ (−1 − 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{4\ +\ 16}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{20}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(KN)\ =\ \sqrt{(x_N\ -\ x_K)^2\ +\ (y_N\ -\ y_K)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(−2 − (−6))^2 +\ (5 − 3)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{16\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{20}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore KL = KN = \sqrt{20}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.3\kern3mmm(LN)\ =\ \frac{y_N − y_L}{x_N − x_L}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= \frac{5 − (−1)}{−2 − (−4)}\ \ \ =\ \ \ \frac{6}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{= 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(KM)\ word\ verkry\ van\ die\ gradiënt\ van\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{die\ vergelyking\ van\ die\ lyn\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Vergelyking\ :\ x + 3y - 3 = 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{39 mm}\mathrm{m(KM) = −\frac{1}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{m(KM) \times m(LN) = −\frac{1}{3} \times 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{50 mm}\mathrm{= −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore KM \perp LN\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{Maar\ P\ is\ die\ middelpunt\ van\ LN\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore KM\ is\ die\ middelloodlyn\ van\ LN\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.4\kern3mmKM \perp LN\ \ . . .\ 22.03\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore Δ KNP is\ 'n\ reghoekige\ driehoek\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.5\kern3mmd(LM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_L)^2\ +\ (y_M\ -\ y_L)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(9 − (−4))^2 +\ (−2 − (−1))^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{169\ +\ 1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{170}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.6\kern3mmKM\ is\ die\ middelloodlyn\ van\ LN\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore KLMN\ kan\ 'n\ vlieër\ wees.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{KL = KN\ \ . . .\ 22.02\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{as\ LM = NM\ dan\ is\ KLMN\ 'n\ vlieër\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(NM)\ =\ \sqrt{(x_M\ -\ x_N)^2\ +\ (y_M\ -\ y_N)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(9 − (−2))^2 +\ (−2 − 5)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{121\ +\ 49}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{170}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore LM = NM = \sqrt{170}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore KLMN\ is\ a\ vlieër\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{ABCD\ is\ 'n\ parallelogram\ as\ oorstaande\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{sye\ gelyk\ is\ of\ as\ hulle\ ewewydig\ is\ d.w.s.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{d.w.s.\ as\ AB ∥ CD\ of\ as\ AB = CD\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{Vergelyk\ dus\ AB\ en\ CD\ se\ gradiënte\ of\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{hulle\ lengtes.\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{m(AB)\ =\ \frac{y_B − y_A}{x_B − x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{= \frac{−4 − 2}{5 − (−4)}\ \ \ =\ \ \ \frac{−6}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{= −\frac{2}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{m(CD)\ =\ \frac{y_D − y_C}{x_D − x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{= \frac{6 − 4}{7 − (−2)}\ \ \ =\ \ \ \frac{2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{= \frac{2}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{m(AB) \not = m(CD)\ en\ dus\ kan\ hulle\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{oorstaande\ sy\ van\ 'n\ parallelogram\ wees\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{36 mm}\mathrm{\bold{OF}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(AB)\ =\ \sqrt{(x_B\ -\ x_A)^2\ +\ (y_B\ -\ y_A)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(5 − (−4))^2 +\ (−4 − 2)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 36}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{117}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{d(CD)\ =\ \sqrt{(x_D\ -\ x_C)^2\ +\ (y_D\ -\ y_C)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{(7 − (−2))^2 +\ (6 − 4)^2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{81\ +\ 4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{=\ \sqrt{85}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{AB \not = CD\ en\ dus\ kan\ hulle\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{oorstaande\ sy\ van\ 'n\ parallelogram\ wees\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{AC = CB\ as\ C\ die\ middelpunt\ van\ AB\ is\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{30 mm}\mathrm{M(AB)\ =\ C\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{\Big(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \Big)\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ (5 ; 7)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{\Big(\frac{3 + p}{2} ; \frac{4 + q}{2} \Big)\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ (5 ; 7)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{3 + p}{2}\ \ =\ \ 5\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ \frac{4 + q}{2}\ \ =\ \ 7\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{3 + p\ \ =\ \ 2 \times 5\ \ en\ \ 4 + q\ \ =\ \ 2 \times 7\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{ p = 7\ \ en\ \ q = 10\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{\therefore B\ is\ die\ punt\ (7 ; 10)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{25.1\kern3mmKL ∥ PQ\ as\ m(KL) = m(PQ)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(KL)\ =\ \frac{y_L − y_K}{x_L − x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= \frac{1 − (−4)}{−1 − (−5)}\ \ \ =\ \ \ \frac{5}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{= \frac{5}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore m(PQ)\ =\ \frac{5}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{\frac{y_Q − y_P}{x_Q − x_P}\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ \frac{5}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{\frac{b − (−5)}{a − (−3)}\ \ \ =\ \ \ \frac{5}{4}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{b + 5 = 5\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ a + 3 = 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{b = 0\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ a = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{\therefore Q\ is\ die\ punt\ (−1 ; 0)\kern2mm\ } $$
K(-5 ; -4) L(-1 ; 1) P(-3 ; -5) Q(a ; b) koördinate
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{25.2\kern3mmKL \perp PQ\ as\ m(KL) \times m(PQ)\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(KL) = \frac{5}{4}\ \ . . . \ 2501\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{m(KL) \times m(PQ) = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\frac{5}{4} \times m(PQ) = −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\therefore m(PQ) = −\frac{4}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{\frac{y_Q − y_P}{x_Q − x_P}\ \kern2mm\ =\ \kern2mm\ −\frac{4}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{\frac{b − (−5)}{a − (−3)}\ \ \ =\ \ \ −\frac{4}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{b + 5 = −4\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ a + 3 = 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{b = −9\ \kern2mm\ en\ \kern2mm\ a = 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{\therefore Q\ is\ die\ punt\ (2 ; −9)\kern2mm\ } $$