Die gradiënt van die lyn AB word
deur m(AB) gegee.
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.1\kern3mmm(AB)\ =\ \frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{7 − 3}{4 − 2}\ \kern4mm\ =\ \frac{4}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.1\kern3mmm(CD)\ =\ \frac{y_D\ -\ y_C}{x_D\ -\ x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{18 − 3}{6 − 1}\ \kern4mm\ =\ \frac{15}{5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.3\kern3mmm(KL)\ =\ \frac{y_L\ -\ y_K}{x_L\ -\ x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{(−2) − (−17)}{(−4) − (−7)}\ \kern4mm\ =\ \frac{15}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.4\kern3mmm(PQ)\ =\ \frac{y_Q\ -\ y_P}{x_Q\ -\ x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{(−23) − (−7)}{3 − (−5)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−16}{8}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.5\kern3mmm(RS)\ =\ \frac{y_S\ -\ y_R}{x_S\ -\ x_R}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{6 − (−2)}{(−1) − (−7)}\ \kern4mm\ =\ \frac{8}{6}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.6\kern3mmm(AB)\ =\ \frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ \frac{(−13) − (−8)}{3 − (−6)}\ \kern4mm\ =\ \frac{−5}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{=\ −\frac{5}{9}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.1\kern3mm\frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{10 − 4}{b − 5}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{6}{b − 5}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{6\ =\ 2(b − 5)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{6\ =\ 2b − 10)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{17 mm}\mathrm{16\ =\ 2b\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{8\ =\ b\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.2\kern3mm\frac{y_D\ -\ y_C}{x_D\ -\ x_C}\ =\ m(CD)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{d − 12}{7 − 3}\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{\frac{d − 12}{4}\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{d − 12\ =\ 4 × −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{d\ =\ −8 + 12\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{d\ =\ 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.3\kern3mm\frac{y_L\ -\ y_K}{x_L\ -\ x_K}\ =\ m(KL)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(−4) − 6}{10 − k}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{\frac{−10}{10 − k}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{13 mm}\mathrm{−(10 − k)\ =\ −10\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{17 mm}\mathrm{k − 10\ =\ −10\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{k\ =\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.4\kern3mm\frac{y_Q\ -\ y_P}{x_Q\ -\ x_P}\ =\ m(KL)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(−4) − p}{(−3) − (−8)}\ =\ 0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{\frac{(−4) − p}{5}\ =\ 0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{17 mm}\mathrm{−4 − p\ =\ 5 × 0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{23 mm}\mathrm{−p\ =\ 4 + 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{25 mm}\mathrm{p\ =\ − 8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.5\kern3mm\frac{y_S\ -\ y_R}{x_S\ -\ x_R}\ =\ m(RS)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(−12) − r}{2 − (−8)}\ =\ −0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(−12) − r}{10}\ =\ −0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{−12 − r\ =\ 10 × −0,8\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{−r\ =\ −8 + 12\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{22 mm}\mathrm{r\ =\ − 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.6\kern3mm\frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{3 − 10}{b − (−8)}\ =\ −0,5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{14 mm}\mathrm{\frac{−7}{b + 8}\ =\ −0,5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{−0,5(b + 8)\ =\ −7\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{b + 8\ =\ 14\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{20 mm}\mathrm{b\ =\ 6\kern2mm\ } $$
Punte A, B en C is saamlynig as m(AB) = m(AC)
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.1\kern3mmm(AB)=\ \frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{12 − 2}{2 − (−3)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{10}{5}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(AC)\ =\ \frac{y_C\ -\ y_A}{x_C\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{22 − 2}{7 − (−3)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{20}{10}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(AB)\ =\ m(AC)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{\therefore A,\ B\ en\ C\ is\ saamlynig\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.2\kern3mmm(DE)=\ \frac{y_E\ -\ y_D}{x_E\ -\ x_D}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−2 − 8}{−2 − (−7)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−10}{5}\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(DF)\ =\ \frac{y_F\ -\ y_D}{x_F\ -\ x_D}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−22 − 8}{8 − (−7)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−30}{15}\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(DE)\ =\ m(DF)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{\therefore D,\ E\ en\ F\ is\ saamlynig\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.3\kern3mmm(GH)=\ \frac{y_H\ -\ y_G}{x_H\ -\ x_G}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−3 − (−7)}{−3 − (−5)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{4}{2}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(DF)\ =\ \frac{y_I\ -\ y_G}{x_I\ -\ x_G}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{5 − (−7)}{1 − (−5}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{12}{6}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(GH)\ =\ m(GI)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{\therefore G,\ H\ en\ I\ is\ saamlynig\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.4\kern3mmm(KL)=\ \frac{y_L\ -\ y_K}{x_L\ -\ x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{6 − (−9)}{−2 − (−7)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{15}{5}\ =\ 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(KM)\ =\ \frac{y_M\ -\ y_K}{x_M\ -\ x_K}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{8 − (−9)}{5 − (−7}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{17}{12}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(GH)\ \neq\ m(GI)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore G,\ H\ en\ I\ is\ nie\ saamlynig\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.5\kern3mmm(PQ)=\ \frac{y_Q\ -\ y_P}{x_Q\ -\ x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{2 − 7}{1 − (−4)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−5}{5}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(PR)\ =\ \frac{y_R\ -\ y_P}{x_R\ -\ x_P}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−5 − 7}{5 − (−4)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−12}{9}\ \kern4mm\ =\ −\frac{4}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(PQ)\ \neq\ m(PR)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore P,\ Q\ en\ R\ is\ nie\ saamlynig\ nie\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.6\kern3mmm(AB)=\ \frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{10 − 16}{4 − 1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−6}{3}\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{m(AC)\ =\ \frac{y_C\ -\ y_A}{x_C\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−12 − 16}{15 − 1}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−28}{14}\ \kern4mm\ =\ −2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{19 mm}\mathrm{m(AB)\ =\ m(AC)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\therefore A,\ B\ en\ C\ is\ saamlynig\kern2mm\ } $$
AB ǁCD as m(AB) = m(AC)
AB ⊥ AC as m(AB) × m(AC) = -1.
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.1\kern3mmm(AB)=\ \frac{y_B\ -\ y_A}{x_B\ -\ x_A}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{6 − 2}{−4 − (−6)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{4}{2}\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ m(AB)\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{28 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ \frac{2}{1}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{36 mm}\mathrm{m(\perp)\ =\ −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.2\kern3mmm(CD)=\ \frac{y_D\ -\ y_C}{x_D\ -\ x_C}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−10 − 8}{4 − (−2)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−18}{6}\ =\ −3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ −3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ m(AB)\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{28 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ \frac{2}{1}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{36 mm}\mathrm{m(\perp)\ =\ −\frac{1}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.3\kern3mmm(EF)=\ \frac{y_F\ -\ y_E}{x_F\ -\ x_E}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{20 − 6}{1 − (−3)}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{14}{4}\ =\ \frac{7}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ \frac{7}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ m(AB)\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ \frac{7}{2}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{26 mm}\mathrm{m(\perp)\ =\ −\frac{2}{7}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.4\kern3mmm(GH)=\ \frac{y_H\ -\ y_G}{x_H\ -\ x_G}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{1 − 11}{9 − 3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{21 mm}\mathrm{=\ \frac{−10}{6}\ =\ −\frac{5}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ m(AB)\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\|)\ =\ −\frac{5}{3}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ m(AB)\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{18 mm}\mathrm{m(\perp)\ \times\ −\frac{5}{3}\ =\ −1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{26 mm}\mathrm{m(\perp)\ =\ \frac{3}{5}\kern2mm\ } $$