$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{1.\kern3mmx^2 − 4x\ \ge\ 5\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{6 mm}\mathrm{x^2 − 4x − 5\ \ge\ 0\ \ \ \ . . . versamel\ al\ die\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{36 mm}\mathrm{terme\ aan\ linkerkant\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{(x − 5)(x + 1)\ \ge\ 0\ \ \ \ . . . faktoriseer\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{x = 5\ \kern2mm\ OF\ \kern2mm\ x = −1\ \ . . . kry\ die\ nulpunte\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{Teken\ nou\ die\ nulpunte\ op\ 'n\ getallelyn.\kern2mm\ } $$
Daar is drie metodes waarop die
ongelykehede opgelos kan word.
Bestudeer die metodes en kies die een
wat jy die beste verstaan.
Ons sal die metodes afwissel vir die
oplossing van die probleme.
$$ \hspace*{28 mm}\mathrm{\bold{Metode\ 1}\kern2mm\ } $$
Daar is twee nulpunte, nl. x = −1 en
x = 5. By elke nulpunt sal die teken
verander. Bepaal nou die teken van
(x − 5) en van (x + 1).
As x < − 1, is x + 1 < 0 en x − 5 < 0, sodat
die produk (x − 5)(x + 1) > 0.
As x > 5, is x − 5 > 0 en x + 1 > 0, sodat
die produk (x − 5)(x + 1) > 0.
Stel die inligting nou op 'n getallelyn
voor, bepaal die oplossing.
Oplossing: x ≤ − 1 OF x ≥ 5.
$$ \hspace*{28 mm}\mathrm{\bold{Metode\ 2}\kern2mm\ } $$
Gebruik die twee nulpunte, nl. x = −1 en
x = 5 as die nulpunte van die
parabool (x − 5)(x + 1). Maak die skets.
Die funksie is positief bokant die x-as en dus is x ≤ − 1 of x ≥ 5
$$ \hspace*{28 mm}\mathrm{\bold{Metode\ 3}\kern2mm\ } $$
Gebruik weer die getallelyn maar
werk nou met 'n blok soos in die skets.
Oplossing: x ≤ − 1 of x ≥ 5.
[ V 1. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{2.\kern3mmx^2 − 3x − 4\ \le\ 0\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{6 mm}\mathrm{(x − 4)(x + 1)\ \le\ 0\ \ \ \ . . . faktoriseer\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{x = 4\ \kern2mm\ OF\ \kern2mm\ x = −1\ \ . . . kry\ die\ nulpunte\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{6 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 4\ en\ x = − 1\kern2mm\ } $$
Gebruik die twee nulpunte, nl. x = −1 en
x = 4 as die nulpunte van die
parabool (x − 4)(x + 1). Maak die skets.
Die funksie is negatief en dus is
die waardes onderkant die x-as
Oplossing: − 1 ≤ x ≤ 4
[ V 2. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{3.\kern3mm(x − 2)(x + 3)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 2\ en\ x = − 3\kern2mm\ } $$
Gebruik blok metode.
Oplossing: x < − 3 of x > 2
[ V 3. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{4.\kern3mm(x + 1)(x − 3)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −1\ en\ x = 3\kern2mm\ } $$
Gebruik parabool.
Oplossing: x < − 1 of x > 3
[ V 4. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{5.\kern3mm(x + 1)(x − 3)\ >\ 12\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 − 2x − 3 − 12\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 5)(x + 3)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 5\ en\ x = − 3\kern2mm\ } $$
Gebruik parabool.
Oplossing: x < − 3 of x > 5 [ V 5. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{6.\kern3mm(x + 1)(x + 2)\ >\ 20\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 + 3x − 18\ >\ 0\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 3)(x + 6)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 3\ en\ x = − 6\kern2mm\ } $$
Gebruik parabool.
Oplossing: x < − 6 of x > 3 [ V 6. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{7.\kern3mm(x − 1)(x + 4)\ \ge\ 6\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 + 3x − 10\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$ $$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 2)(x + 5)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 2\ en\ x = − 5\kern2mm\ } $$
Oplossing: x ≤ − 5 of x ≥ 2 [ V 7. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{8.\kern3mmx^2 − 9x\ \ge\ 36\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 − 9x − 36\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 12)(x + 3)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 12\ en\ x = − 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{9.\kern3mmx^2 + 7x − 8\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 1)(x + 8)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 1\ en\ x = − 8\kern2mm\ } $$
Oplossing: − 8 < x < 1 [ V 9. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{10.\kern3mm7x^2 + 18x − 9\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x + 3)(7x − 3)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 3\ en\ x = \frac{3}{7}\kern2mm\ } $$
Oplossing: x < − 3 of x > 3/7 [ V 10. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{11.\kern3mm(2x − 3)^2\ \ge\ 169\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{4x^2 − 12x + 9 − 169\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 − 3x − 40\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x + 5)(x − 8)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 5\ en\ x = 8\kern2mm\ } $$
Oplossing: x < − 5 of x > 8 [ V 11. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{12.\kern3mmx^2 − 3x\ >\ 10\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{x^2 − 3x − 10\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{(x − 5)(x + 2)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 5\ en\ x = − 2\kern2mm\ } $$
Oplossing: x < − 2 of x > 5 [ V 12. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{13.\kern3mm(x + 1)(4 − x)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{−x^2 + 3x + 4\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{12 mm}\mathrm{x^2 − 3x − 4\ \bold{<}\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{9 mm}\mathrm{(x + 1)(x − 4)\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −1\ en\ x = 4\kern2mm\ } $$
Oplossing: − 1 < x < 4 [ V 13. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{14.\kern3mm−3(x + 7)(x − 5)\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{−3x^2 − 6x + 105\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{17 mm}\mathrm{x^2 + 2x − 35\ \bold{>}\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{(x + 7)(x − 5)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −7\ en\ x = 5\kern2mm\ } $$
Oplossing: x < − 7 of x > 5 [ V 14. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{15.\kern3mm3 − x\ <\ 2x^2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{2x^2 + x −3\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{(2x + 3)(x − 1)\ >\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −\frac{3}{2}\ en\ x = 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{16.\kern3mm4x^2 + 1\ \ge\ 5x\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{11 mm}\mathrm{4x^2 − 5x + 1\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{15 mm}\mathrm{(4x − 1)(x − 1)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = \frac{1}{4}\ en\ x = 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{17.\kern3mmx^2 + x\ <\ 2x + 6\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{x^2 − x − 6\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{(x + 2)(x − 3)\ <\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 2\ en\ x = 3\kern2mm\ } $$
sodat die produk positief is.
As x > 3, dan is x + 2 > 0 en x − 3 > 0,
sodat die produk positief is.
Oplossing: − 2 < x < 3 [ V 17. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{18.\kern3mm2x^2 + x\ \ge\ 2x + 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{2x^2 − x − 3\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{(x + 1)(2x − 3)\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 1\ en\ x = \frac{3}{2}\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{19.\kern3mm\frac{x + 1}{x − 3}\ \le\ 2\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x + 1}{x − 3} − 2\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x + 1 − 2(x − 3)}{x − 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− x + 7}{x − 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = 7\ en\ x = 3\kern2mm\ } $$
x ≠ 3 wees nie omdat daar nie
met 0 gedeel kan word nie.
Oplossing: x ≤ 3 of x ≥ 7 [ V 19. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{20.\kern3mm\frac{2x − 1}{x + 4}\ \ge\ 5\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{2x − 1}{x + 4} − 5\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{2x − 1 − 5(x + 4)}{x + 4}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− 3x − 21}{x + 4}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− 3(x + 7)}{x + 4}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(x + 7)}{x + 4}\ \le\ 0\ \ \dots \ deel\ met\ −3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 7\ en\ x = − 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{21.\kern3mm\frac{3x − 1}{2x + 3}\ \le\ 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{3x − 1}{2x + 3} − 4\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{3x − 1 − 4(2x + 3)}{2x + 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− 5x − 13}{2x + 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{5x + 13}{2x + 3}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −\frac{13}{5} \ en\ x = −\frac{3}{2}\kern2mm\ } $$
[ V 21. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{22.\kern3mm\frac{1 − 2x}{x + 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x =\frac{1}{2} \ en\ x = − 3\kern2mm\ } $$
[ V 22. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{23.\kern3mm\frac{5 − 2x}{x + 6}\ \ge\ 1\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{5 − 2x}{x + 6} − 1\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{5 − 2x − (x + 6)}{x + 6}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− 3x − 1}{x + 6}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{3x + 1}{x + 6}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = −\frac{1}{3} \ en\ x = − 6\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{24.\kern3mm\frac{1 − 3x}{x − 4}\ \le\ 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{1 − 3x}{x − 4} − 3\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{1 − 3x − 3(x − 4)}{x − 4}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{− 6x + 13}{x − 4}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{6x − 13}{x − 4}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = \frac{13}{6} \ en\ x = 4\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{25.\kern3mm\frac{x^2 + 4x − 6}{2x + 3}\ \le\ 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 + 4x − 6}{2x + 3} − 3\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 + 4x − 6 − 3(2x + 3)}{2x + 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 − 2x − 15}{2x + 3}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(x + 3)(x − 5)}{2x + 3}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 3 \ of\ x = − \frac{3}{2}\ of\ x = 5\kern2mm\ } $$
[ V 25. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{26.\kern3mm\frac{x^2 − 2x + 4}{2x − 5}\ \le\ 7\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 − 2x + 4}{2x − 5} − 7\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 − 2x + 4 − 7(2x − 5)}{2x − 5}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 − 16x + 39}{2x − 5}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(x − 3)(x − 13)}{2x − 5}\ \le\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = \frac{5}{2}\ \ of\ \ x = 3\ \ of\ \ x = 13\kern2mm\ } $$
[ V 26. ]
$$ \hspace*{2 mm}\mathrm{27.\kern3mm\frac{x^2 + 3x − 1}{x + 1}\ \ge\ 3\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 + 3x − 1}{x + 1} − 3\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 + 3x − 1 − 3(x + 1)}{x + 1}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{x^2 − 4}{x + 1}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{10 mm}\mathrm{\frac{(x − 2)(x + 2)}{x + 1}\ \ge\ 0\kern2mm\ } $$
$$ \hspace*{8 mm}\mathrm{Nulpunte\ is\ x = − 3\ \ of\ \ x = − 1\ \ of\ \ x = 2\kern2mm\ } $$
[ V 27. ]